Induced representations of the modular group PSL(2,Z) and the transfer operator for its subgroups of finite index

Momeni, Arash

Beim Transferoperator Zugang zur Selbergschen Zetafunktion für eine Untergruppe Γ von endlichem Index in PSL(2,Z) mit einem Charakter χ ist derRaum F(s; Γ;χ) der Eigenfunktionen des Transferoperator LΓ,χs zum Eigenwert 1 in Bijektion mit dem Raum S(s; Γ;χ) der Maass’schen Spitzenformen von Γ und χ bzw. dem Raum S(s; Γ,χ) der Perioden Funktionen von Lewis und Zagier. Die Selbergsche Zetafunktion Z(s; Γ;χ) wird dabei durch die Fredholm Determinante von LΓ,χs ausgedrückt. Wir verallgemeinern diesen Zugang auf den Fall einer beliebigen unitären Darstellung χ von Γ. Wir zeigen, dass auch die Symmetrien des Transferoperators mit einer unitären Darstellung mit den Automorphismen der entsprechenden Maass’sche Spitzenformen zusammenhängen. Nach der Jacquet-Langlands Korrespondenz ist der Raum S(s;O(n)) der Maass’sche Spitzenformen für On, den Einheiten einer indefiniten Divisionsalgebra von Quaternionen der Diskriminanten, in Bijektion mit dem Raum Snew(s; Γ0(n)) der neuen Formen für die Hecke Kongruenzgruppe Γ0(n). Die Erwartung, dass die Beschränkung des Transferoperators auf den entsprechenden Unterraum Fnew(s; Γ0(n)) der Eigenfunktionen einer der irreduziblen Komponenten der Darstellung UΓ0(n) entspricht ist nicht richtig wie wir am Beispielder Gruppe Γ0(6) zeigen.Nach einem Ergebnis von Millington, kann die Darstellung UΓ0(n) von der Gruppe PSL(2,Z) im Transferoperator LΓ0(n)s, welche von der trivialen Darstellung von Γ0(n) induziert wird, mit einer Permutationsdarstellung der endlichen Gruppe Q(n) = PSL(2,Z) identifiziert werden, wobei H(n) = kerUΓ0(n) gilt. Die Anwendung von Ergebnisse der Theorie der endlichen Gruppen zeigt, dass für teilerfremden und m, gilt UΓ0(nm)=UΓ0(n)⊗UΓ0(m), bzw. für p prim, UΓ0(p)∼=Ut⊕Up, wobei Ut die triviale 1-dim. Darstellung und Up eine gewisse p-dimensionale irreduzible Darstellung von PSL(2,Z) ist. Dies führt zu einer entsprechenden Zerlegung des Transferoperators und des Raums der Eigenfunktionen. Im speziellen Fall n= 6 enthält die Darstellung UΓ0(6) die irreduzible Darstellung U2⊗U3, die einen Unterraum von F(s; Γ0(6)) beschreibt, der eine Mischung aus alten und neuen Eigenfunktionen einschliesslich des gesamten Raum sFnew(s; Γ0(6)) ist. Im Falle der Hauptkongruenzgruppe Γ(2) ist bekannt, dass die induzierte Darstellung UΓ(2) andereseits einen 1 -dim. Unterdarstellung Usgn enthält, die genau den Raum Fnew(s; Γ(2)) charakterisiert. Schliesslich wird bewiesen, dass ein Charakter χauf Γ genau dann kongruent ist, wenn die Darstellung ρχ von PSL(2,Z) induziert von χ, kongruent ist. Angewandt auf die Darstellung ρχα induziert von der Selbergschen Familie von Characteren χα für Γ0(4), erhält man neben den α-Werten, für die χα kongruent ist, auch bestimmte nicht-kongruente Untergruppen, auf die Zograf’s Kriterium nicht angewandt werden kann.

In the transfer operator approach to Selberg’s zeta function for a sub-group Γ of finite index in PSL(2,Z) and character χ the space F(s; Γ;χ) of eigenfunctions of the transfer operator LΓ,χs for the eigenvalue 1 with certain asymptotics at zero is in bijection with the space S(s; Γ, χ) of Maass cusp forms of Γ and χ respectively the space S(s; Γ;χ) of period functions of Lewis and Zagier. Selberg’s zeta function Z(s; Γ;χ) gets thereby expressed in terms of the Fredholm determinant of LΓ,χs. We extend this approach to the case χ an arbitrary unitary representation of Γ. We show that also the symmetries of the transfer operator with unitary representation can be related to the automorphisms of the corresponding Maass cusp forms. According to the Jacquet-Langlands correspondence the space S(s;On) of Maass cusp forms for On, the unit group of an indefinite quaternion devision algebra of discriminant n, is in bijection with the space Snew(s; Γ0(n)) of new forms for the Hecke congruence group Γ0(n), when n is square free and a product of an even number of primes. The expectation, that the restriction of the transfer operator to the corresponding subspace Fnew(s; Γ0(n)) of the eigenfunctions, coincides with this operator corresponding to one of the irreducible components of UΓ0(n) is not true as we show in the case Γ0(6). By a result of Millington, the representation UΓ0(n) of PSL(2,Z) appearing in the transfer operator LΓ0(n)s and induced from the trivial representation of Γ0(n), can be identified with a permutation representation of the finite group Q(n) = PSL(2,Z)/H(n) with H(n) = kerUΓ0(n). By applying results of the theory of finite groups it follows that for coprimen and m, UΓ0(nm)=UΓ0(n)⊗UΓ0(m) and for p prime UΓ0(p)∼=Ut⊕Up whereUt is the trivial 1-dim. representation and Up is a certain p-dimensional irreducible representation of PSL(2,Z). This leads to a decomposition of the transfer operator and the space of its eigenfunctions. In the special case n= 6 the representation UΓ0(6) contains the irreducible representation U2⊗U3, which characterizes a subspace ofF(s; Γ0(6)) describing a mixture of old and new eigenfunctions including the space Fnew(s; Γ0(6)). In the case of the principal congruence subgroup Γ(2) the induced representation UΓ(2) on the otherhand contains a 1-dim. subrepresentation Usgn characterizing exactly the spaceFnew(s; Γ(2)). Finally it is proved, that a character χ on Γ is congruence iff the representation ρχ of PSL(2,Z) induced from χ is congruence. Applying this to the representation ρχα induced from Selberg’s family of characters χα, for Γ0(4), yields besides the α-values for which χα is congruence, also certain non-congruence subgroups to which Zograf’s criterion can not be applied.

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Momeni, Arash: Induced representations of the modular group PSL(2,Z) and the transfer operator for its subgroups of finite index. 2014.

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