# Semi-analytical tools for the analysis of laminated composite cylindrical and conical imperfect shells under various loading and boundary conditions

The non-linear buckling of unstiffened laminated composite cones and cylinders will be investigated and new semi-analytical models capable to predict the static and the instability response of these shells under various loads and boundary conditions will be proposed. An introduction is given to the reader in order to present and discuss some of the main deterministic approaches currently used for the design of imperfection sensitive structures. From this introduction it will become clear the need for non-linear tools that can consider both geometric and load imperfections, which are recognized to be among the main factors affecting the load carrying capacity of the shells under discussion. The complete non-linear strain equations are derived using two Equivalent Single-Layer Theories: the Classical Laminated Plate Theory and the First-order Shear Deformation Theory. The non-linear terms will be identified corresponding to Donnell’s, Sanders’ and Timoshenko and Gere’ assumptions, but the discussion will focus on Donnell’s and Sanders’ equations. The resulting strain-displacement equations will then be applied to the stationary conditions of the total potential energy in order to obtain the non-linear static equations and the eigenvalue problem that can be used to predict the instability behavior, the latter using the neutral equilibrium criterion. The Ritz method is selected to solve the non-linear set of equations and a new set of appropriate approximation functions for the displacement field is proposed, in order to simulate axial compression, torsion, pressure, load asymmetry, any arbitrary surface or concentrated loads, and any load case combining these loads. Elastic constraints are used to produce a wide range of boundary conditions, covering the four types of boundary conditions commonly used in the literature. Two methods to solve the non-linear static equations are discussed: Newton-Raphson with line search and Riks; both presented in the full form, where the tangent stiffness matrix is calculated at every iteration, and in the modified form, where the tangent stiffness matrix is updated at the beginning of each load increment (or arc-length increment) and kept constant along the iterations. An analytical integration scheme is proposed for the linear stiffness matrices and a numerical integration scheme proposed for the non-linear stiffness matrices. The analytical integration schemes assume constant laminate properties over the whole conical/cylindrical surface. For conical shells a novel approximation is proposed in order to efficiently perform the analytical integration of the linear stiffness matrices. Detailed convergence analyses are presented and the proposed models are verified with finite element results, models available from the literature and test results from the literature. All the developed tools and algorithms are presented in detail and made available to the reader online. Keywords: Ritz method, Linear, Non-Linear, Static, Buckling, Composite, Conical, Cylindrical, Pressure, Torsion, Axial Compression, Donnell, Sanders, Geometric Imperfection, Load Imperfection

Das nichtlineare Beulen unversteifter Faserverbundzylinder und -konen wird untersucht, sowie neue semi-analytische Modelle, welche in der Lage sind sowohl die statische Reaktion, als auch das Instabilitätsverhalten dieser Schalen unter verschiedenen Lasten und Randbedingungen vorherzusagen werden vorgeschlagen. In der Einleitung werden die wichtigsten deterministischen Ansätze dargestellt, die derzeit zur Auslegung imperfektionsempfindlicher Strukturen Verwendung finden. Die Einführung verdeutlicht die Notwendigkeit nichtlinearer Lösungsverfahren, welche sowohl geometrische, als auch Lastimperfektionen berücksichtigen können. Es sind genau diese Imperfektionen, die einen Hauptteil der Reduktion der Tragfähigkeit der Schalen ausmachen. Die gesamten nichtlinearen Dehnungsgleichungen sind aus zwei Äquivalenten Einzelschicht-Theorien abgeleitet: Die klassische Laminattheorie und Schubdeformationstheorie 1.Ordnung. Die nichtlinearen Terme werden entsprechend den Gleichungen von Donnell’s-, von Sanders- und von Timoshenko und Gere’s identifiziert, aber im weiteren werden nur die Gleichungen von Donnell und Sanders betrachtet. Die daraus resultierenden Spannungs-Dehnung-Beziehungen werden dann auf die stationären Bedingungen der potentiellen Gesamtenergie angewendet, um die nichtlinearen statischen Gleichungen und das Eigenwertproblem zu erhalten, welches zum Lösen des Instabilitätsverhalten mittels des Gleichgewichtskriteriums verwendet werden kann. Das Ritz-Verfahren wird zum Lösen der nichtlinearen Gleichungen verwendet, wobei ein neuer Satz an geeigneten Ansatzfunktionen für das Verschiebungsfeld vorgeschlagen wird, um axiale Stauchung, Torsion, Druck oder Ungleichförmigkeit der Lasteinleitung zu simulieren. Desweiteren ist es möglich jede beliebige Lastfunktion, Einzellast oder eine Kombination verschiedener Lastfälle zu berücksichtigen. Elastische Federn werden verwendet, um eine Vielzahl an Randbedingungen zu erzeugen und somit die vier am häufigsten in der Literatur verwendeten Randbedingungsarten abzudecken. Um die nichtlinearen statischen Gleichungen zu lösen wurden zwei Methoden diskutiert: Newton-Raphson mit dem Zeilen-Such-Algorithmus und Riks. Beide werden in ihrer Gesamtform dargestellt, wobei die Tangentensteifigkeitsmatrix bei jeder Iteration berechnet wird. Ebenso wird sie in der modifizierten Form, in der die Tangentensteifigkeitsmatrix zu Beginn jeder Laststufe (oder Bogenlänge Inkrement) nur einmal berechnet wird, dargelegt und konstant gehalten für alle folgende Iterationen. Für die linearen Steifigkeitsmatrizen ist ein analytisches Integrationsschema ratsam und für die nichtlinearen Steifigkeitsmatrizen wird ein numerisches Integrationsschema vorgeschlagen. Die analytischen Integrationsverfahren setzen konstante Laminateigenschaften über die gesamte konische / zylindrische Oberfläche voraus. Für die konischen Schalen wird eine neuartige Approximation vorgeschlagen, um die analytische Integration der linearen Steifigkeitsmatrix effizient durchzuführen. Eine detaillierte Konvergenzanalyse wurde durchgeführt und die vorgeschlagenen Modelle sind mit Finiten-Elementen-Ergebnissen, sowie mit Modellen und Testergebnissen aus Fachliteratur verifiziert. Alle entwickelten Werkzeuge und Algorithmen sind im Detail dargelegt und dem Leser online zur Verfügung gestellt.

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Castro, Saullo: Semi-analytical tools for the analysis of laminated composite cylindrical and conical imperfect shells under various loading and boundary conditions. 2015.

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