Ein mehrskalen- und dualitätsbasiertes Viskositätsmodell für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Rempke, Arne

Eine wichtige Anwendung in den Ingenieurwissenschaften und in der Physik ist die Berechnung der Strömung von Flüssigkeiten oder Gasen. Das Verhalten solcher Fluide wird häufig durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben. Viele dieser Probleme lassen sich nicht analytisch lösen, sondern nur numerisch approximieren. Insbesondere bei turbulenten Strömungen besteht die Schwierigkeit, dass die Diskretisierung nicht alle Skalen auflösen kann. Kleine Verwirbelungen können somit nicht berechnet werden. Üblicherweise werden ihre Effekte jedoch mithilfe von Subgrid-Modellen nachgebildet. Diese Techniken sind auch als Large Eddy Simulation oder variationelle Multiskalenmethode bekannt. Viele der Subgrid-Modelle gehen als zusätzliche Diffusion in Form einer künstlichen Viskosität in die Differentialgleichungen ein, es wird von Reynolds-Averaged-Navier-Stokes-Gleichungen gesprochen. Moderne Verfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen verändern die der Diskretisierung zugrunde liegenden Gitter in Abhängigkeit von der zu bestimmenden Lösung. Als Indikator für eine adaptive Gitterverfeinerung kann ein Funktional der Lösung verwendet werden. Dieses Funktional wird im Vorfeld vom Anwender vorgegeben und beschreibt eine Größe, die ihm bei der Approximation besonders wichtig ist. Mithilfe eines dualen Problems können dann die Gitterelemente identifiziert werden, bei denen eine lokale Änderung der Lösung einen besonders großen Ein uss auf den Wert des Funktionals hat. Bei der verbreiteten Technik der Dual Weighted Residuals werden gezielt diese Gitterelemente verfeinert. In der vorliegenden Arbeit wird auf Grundlage einer a-posteriori-Fehlerabschätzung ein inverses Problem entwickelt, das die künstliche Viskosität nicht als Parameter, sondern als Variable enthält. Statt aus einer vorgegebenen künstlichen Viskosität die resultierende Strömung zu berechnen, wird diejenige künstliche Viskosität gesucht, die eine Strömung liefert, deren Funktionalwert möglichst exakt ist. Es wird ein mehrskaliger Ansatz verwendet, um den Funktionalwert einer feineren Diskretisierung als Referenz nutzen zu können. Auf Grundlage dieser neuen Idee kann für beliebige (partielle) Differentialgleichungen mitsamt eines vorgegebenen Modellierungsansatzes ein solches inverses Problem formuliert werden. Die Lösung des inversen Problems steuert dabei den Modellierungsansatz in Raum und Zeit. Anschließend wird das resultierende System aus fünf Variationsgleichungen im konkreten Kontext der instationären inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen formuliert, auf Basis der Finite-Elemente-Methode implementiert und anhand von drei Modellproblemen praktisch gelöst. Schließlich wird noch der Frage nachgegangen, ob und wie aus der so gewonnenen konkreten künstlichen Viskosität wieder ein (allgemeiner verwendbares) Viskositätsmodell konstruiert werden kann. Dazu werden Approximationsansätze auf Grundlage von reduzierten Basen, nichtlinearer Approximation sowie radialen Basisfunktionen diskutiert, implementiert und auf die vorgestellten Modellprobleme angewendet. Diese neuen Viskositätsmodelle werden mit den bereits gewonnenen Daten verglichen und eingeordnet.

The calculation of the flow of liquids or gases is an important application in engineering and physics. The behavior of such fluids is often expressed by means of the Navier-Stokes equations. Many of these problems can not be solved analytically, but only approximated numerically. Particularly for turbulent flows, one experiences the diffculty that the discretization can not resolve all scales. Therefore small eddies can not be calculated. Usually, their effects are replicated using subgrid models. These techniques are also known as large eddy simulation or variational multiscale method. Many of the subgrid models act as an additional diffusion in the form of an artificial viscosity in the differential equations which are called Reynolds-averaged Navier-Stokes equations. Modern methods for the numerical solution of differential equations change the underlying grid of the discretization depending on the solution to be determined. A functional of the solution can be used as an indicator for this adaptive mesh refinement. This functional is given in advance by the user and describes an entity which is particularly important to him or her in the approximation. Using a dual problem, those grid elements can then be identified, where a local change of the solution has a particularly large impact on the value of the functional. In the widespread technique of dual weighted residuals these grid elements are then refined specifically. In this work an inverse problem is developed, which is based on an a posteriori error estimate, and which does not use the artificial viscosity as a parameter, but as a variable. Instead of using a predetermined artificial viscosity in order to calculate the resulting flow, we search for an artificial viscosity, which provides a flow with the most accurate functional value. A multi-scale approach is applied in order to use the functional value of a finer discretization as a reference. Based on this new idea such an inverse problem can be formulated for any (partial) differential equations together with a given modeling approach. The solution of the inverse problem thereby controls the modeling approach in space and time. Subsequently, the resulting system of five variational equations is formulated in the specific context of the unsteady incompressible Navier-Stokes equations, implemented based on the finite element method and practically solved for three model problems. Finally, the question is posed, whether and how to obtain a (general-purpose) viscosity model from this concrete artificial viscosity. Approaches for an approximation based on reduced bases, nonlinear approximation and radial basis functions are discussed implemented and applied to the presented model problems. These new viscosity models are compared and classified to the data already collected.

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Rempke, Arne: Ein mehrskalen- und dualitätsbasiertes Viskositätsmodell für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. 2015.

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