Ein mehrskalen- und dualitätsbasiertes Viskositätsmodell für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen

Eine wichtige Anwendung in den Ingenieurwissenschaften und in der Physik ist die Berechnung der Strömung von Flüssigkeiten oder Gasen. Das Verhalten solcher Fluide wird häufig durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben. Viele dieser Probleme lassen sich nicht analytisch lösen, sondern nur numerisch approximieren. Insbesondere bei turbulenten Strömungen besteht die Schwierigkeit, dass die Diskretisierung nicht alle Skalen auflösen kann. Kleine Verwirbelungen können somit nicht berechnet werden. Üblicherweise werden ihre Effekte jedoch mithilfe von Subgrid-Modellen nachgebildet. Diese Techniken sind auch als Large Eddy Simulation oder variationelle Multiskalenmethode bekannt. Viele der Subgrid-Modelle gehen als zusätzliche Diffusion in Form einer künstlichen Viskosität in die Differentialgleichungen ein, es wird von Reynolds-Averaged-Navier-Stokes-Gleichungen gesprochen. Moderne Verfahren zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen verändern die der Diskretisierung zugrunde liegenden Gitter in Abhängigkeit von der zu bestimmenden Lösung. Als Indikator für eine adaptive Gitterverfeinerung kann ein Funktional der Lösung verwendet werden. Dieses Funktional wird im Vorfeld vom Anwender vorgegeben und beschreibt eine Größe, die ihm bei der Approximation besonders wichtig ist. Mithilfe eines dualen Problems können dann die Gitterelemente identifiziert werden, bei denen eine lokale Änderung der Lösung einen besonders großen Ein uss auf den Wert des Funktionals hat. Bei der verbreiteten Technik der Dual Weighted Residuals werden gezielt diese Gitterelemente verfeinert. In der vorliegenden Arbeit wird auf Grundlage einer a-posteriori-Fehlerabschätzung ein inverses Problem entwickelt, das die künstliche Viskosität nicht als Parameter, sondern als Variable enthält. Statt aus einer vorgegebenen künstlichen Viskosität die resultierende Strömung zu berechnen, wird diejenige künstliche Viskosität gesucht, die eine Strömung liefert, deren Funktionalwert möglichst exakt ist. Es wird ein mehrskaliger Ansatz verwendet, um den Funktionalwert einer feineren Diskretisierung als Referenz nutzen zu können. Auf Grundlage dieser neuen Idee kann für beliebige (partielle) Differentialgleichungen mitsamt eines vorgegebenen Modellierungsansatzes ein solches inverses Problem formuliert werden. Die Lösung des inversen Problems steuert dabei den Modellierungsansatz in Raum und Zeit. Anschließend wird das resultierende System aus fünf Variationsgleichungen im konkreten Kontext der instationären inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen formuliert, auf Basis der Finite-Elemente-Methode implementiert und anhand von drei Modellproblemen praktisch gelöst. Schließlich wird noch der Frage nachgegangen, ob und wie aus der so gewonnenen konkreten künstlichen Viskosität wieder ein (allgemeiner verwendbares) Viskositätsmodell konstruiert werden kann. Dazu werden Approximationsansätze auf Grundlage von reduzierten Basen, nichtlinearer Approximation sowie radialen Basisfunktionen diskutiert, implementiert und auf die vorgestellten Modellprobleme angewendet. Diese neuen Viskositätsmodelle werden mit den bereits gewonnenen Daten verglichen und eingeordnet.