On the discrete spectrum of linear operators on Banach spaces

Hanauska, Franz

Let L0 be a bounded operator on a Banach space X and K a compact operator. If we set L = L0+K, then the essential spectra of L and L0 coincide and the spectrum of L in the unbounded component of the resolvent set of L0 contains at most a countable number of discrete eigenvalues. The set of accumulationpoints of these eigenvalues is contained in the essential spectrum of L. The aim of this thesis is to clarify the following questions: Find upper bounds for the number of eigenvalues in some regions of the unbounded component of the resolvent set of the unperturbed operator. What is the rate of accumulation of the discrete spectrum to the es- sential spectrum? What are the possible points of accumulation of the discrete spectrum in the essential spectrum? The perturbing operator K is restricted to be an element of some quasi- Banach ideal which is assumed to be one natural generalization of the Schat- ten von Neumann Banach ideal, e.g. the space of nuclear operators, linear maps of type lp or p-summing operators. Moreover, there are also obtained several results only under the assumption that K is the uniform limit of nite rank operators. The abstract results are applied to perturbations of the discrete Laplace ope- rator, the operator of multiplication and the shift operator. We obtain our results by constructing holomorphic functions, the zeros of which coincide with the discrete spectrum of L, and by using results from complex analysis.

Sei L0 ein beschränkter Operator auf einem Banach Raum X und sei K ein kompakter Operator. Setzen wir L = L0 + K, dann stimmen die wesentlichen Spektren von L und L0 überein und die unbeschränkte Zusammenhangskomponente der Resolventenmenge von L0 enthält höchstens eine abzählbare Anzahl von diskreten Eigenwerten von L, welche sich nur im wesentlichen Spektrum von L häufen können. Die vorliegende Arbeit soll folgende Fragen klären: Was ist die Häufungsrate des diskreten Spektrums zum wesentlichen Spektrum? Was sind mögliche Häufungspunkte des diskreten Spektrums und welche nicht? Finde obere Schranken für die Anzahl der diskreten Eigenwerte in bestimmten Regionen der unbeschränkten Komponente der Resolventenmenge des ungestörten Operators. Wir setzen voraus, dass der Störoperator K ein Element eines quasi-Banach Ideals ist, welches eine natürliche Verallgemeinerung der Schatten von Neumann Banach Ideale sein soll, wie zum Beispiel das Ideal der nuklearen Operatoren, Operatoren vom Typ lp oder p-summierbarer Operatoren. Außerdem erhalten wir auch einige Resultate nur unter der Annahme, dass K der gleichmäßige Grenzwert von Operatoren endlichen Ranges ist. Diese abstrakten Ergebnisse werden auf Störungen des diskreten Laplace- Operators, des Multiplikationsoperators und des Shiftoperators angewendet. Diese Resultate erhalten wir durch Konstruktion holomorpher Funktionen, deren Nullstellenmenge mit dem diskreten Spektrum von L übereinstimmt.

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Hanauska, Franz: On the discrete spectrum of linear operators on Banach spaces. Clausthal-Zellerfeld 2016.

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