# Einfluss von Unsicherheiten in Materialparametern auf Finite-Elemente Simulationen

One fundamental part of engineering mechanics is the simulation of physical bodies on which critical decisions for the manufacturing process are based on. The main goal is to produce light and robust components in e.g. the automotive and aircraft industry, which are easy to manufacture in an efficient low cost production process. At the same time, the produced parts should always fulfill highest safety, stability and durability requirements. The necessary complex simulations are, however, subject to errors, which arise fromwidespread areas. First of all, the physical body needs to be described geometrically in the form of discretized meshes, which itself introduces approximations and with it uncertainties. Furthermore the body has to be described by a mathematical model, which characterizes the physical behaviour. In the context of the established finite element method these models view the underlying material only in respect to its behaviour based on several observations of the materials habits, not claiming a completely correct description of the material. These constitutive models are calibrated by the means of material parameters which need to be measured, and thus inhabit additional uncertainties. The solution to such constitutive models is also prone to errors, because the direct analytical solution of these complex mathematical models is typically impossible to obtain. Only approximate solutions in the time domain can be computed, which in combination with the listed uncertainties lead to reasonable but error-prone solutions. Although concepts for quantifying uncertainties were developed half a century ago and are quite common in other areas such as physics or mathematics, engineering mechanics typically operate by means of safety factors and boundaries instead of incorporating such quantitative uncertainty measures into the standard simulation approaches. The finite element method has proven to be a reliable tool for simulating problems of industrial scale and interest. In this work the well established sensitivity analysis is applied to finite element simulations in order to get a quantitative view on the errors resulting from uncertainties of material parameters. For this purpose the underlying structure of equations relevant to these simulations is analyzed in order to find possibilities of incorporating the uncertainty analysis into the finite element simulations in a way, which is numerically robust. Using the example of the constitutive models of hyperelasticity and viscoplasticity the overall procedure is investigated. From experimental results, which are used to derive the parameters of the model, to the simulation of three dimensional structures, it is explored, how all parts of this process are subject to uncertainties and how this influences the final outcome. Applying these concepts together with other sources of uncertainties, one will be able to investigate critical stresses and assess the certainty of these numerical predictions.

Ein fundamentaler Bestandteil der Ingenieurwissenschaften ist die Simulation von physikalischen Körpern, welche für kritische Entscheidungen im Produktionsprozess genutzt wird. Die Zielsetzung leichte und robuste Komponenten zu produzieren, welche möglichst effizient und zu geringen Kosten hergestellt werden können, wird z.B. in der Automobil und Luftfahrtindustrie aktiv verfolgt. Weiterhin muss sichergestellt werden, dass Bauteile höchsten Sicherheits-, Stabilitäts- und Haltbarkeitsanforderungen entsprechen. Die dafür nötigen komplexen Simulationen sind eine Näherung der realen Umstände und beinhalten aus diesem Grund Unsicherheiten. So muss der physikalische Körper geometrisch beschrieben werden, was in Form von einer diskreten Vernetzung erfolgt. Das Materialverhalten des Körpers wird außerdem durch phänomenologische Materialmodelle beschrieben, welche das Verhalten mathematisch modellieren. Diese Modelle werden mit Hilfe ihrer bestimmenden Parameter kalibriert, die wiederum bestimmten Unsicherheiten unterliegen. Die numerische Lösung im Zuge der Anwendung der Finite-Elemente-Methode (FEM) bringt ebenfalls weitere Unsicherheiten ein. Obwohl Konzepte zur Quantifizierung dieser Unsicherheiten schon seit mehreren Jahrzehnten existieren, werden diese hauptsächlich in den Naturwissenschaften wie z.B. der Physik und Mathematik angewandt. Im Ingenieurwesen arbeitet man üblicherweise mit Sicherheitsfaktoren anstatt die Unsicherheiten konkret zu beziffern und in die Standardvorgehensweise einzubeziehen. Mit der Methode der finiten Elemente, welche sich als zuverlässiges Werkzeug für die Simulation von Problemen im industriellen Maßstab erwiesen hat, lässt sich eine solche Quantifizierung jedoch ebenfalls durchführen. In dieser Arbeit wird die gut etablierte Sensitivitätsanalyse in Anwendung auf die FEM genutzt, um die Fortpflanzung der Unsicherheiten in Materialparametern in Finite-Elemente-Simulationen zu untersuchen und zu charakterisieren. Zu diesem Zweck wird die relevante zugrundeliegende Gleichungsstruktur untersucht und es werden Möglichkeiten aufgezeigt, diese auszunutzen, um die Konzepte der Sensitivitätsanalyse für dreidimensionale Strukturen in Form einer Unsicherheitsanalyse anzuwenden. Es werden die konstitutiven Modelle der Hyperelastizität und Viskoplastizität an zwei konkreten Beispielen untersucht. Ausgehend von experimentellen Ergebnissen, aus denen die Parameter des Modells sowie deren Unsicherheiten bestimmt werden, wird analysiert, wie diese sich auf die untersuchte Struktur auswirken.

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