Time domain finite element method for linear and nonlinear models in electromagnetics and optics

Anees, Asad GND

In this thesis, we develop a time domain nite element method for linear and nonlinear models in Electromagnetics and Optics. In the linear case, a weak formulation is derived for the electric and magnetic elds with ap- propriate initial and boundary conditions, and the problem is discretized both in space and time. Nedelec curl-conforming and Raviart-Thomas div- conforming nite elements are used to discretize in space the electric and magnetic elds, respectively. The backward Euler and symplectic schemes are applied to discretize the linear problem in time. For this linear system, we give a complete stability and error analysis. In addition, computational experiments are presented to validate the method; the electric and magnetic elds are visualized. The method also allows to treat complex geometries of various physical systems coupled to electromagnetic elds in 3D. In the next part of thesis, we extend the linear nite element method to time domain nite element methods for the full system of Maxwell's equa- tions with cubic nonlinearities in 3D. For the rst time, stability and error estimates are presented for this type of problem. The new capabilities of these methods are to eciently model linear and nonlinear eects of the electrical polarization. The novel strategy has been developed to bring un- der control the discrete nonlinearity model in space and time. It results in energy stable discretizations both at the semi-discrete and the fully discrete levels, with spatial discretization either using discontinuous spaces and ed- ge elements (Lee-Madsen formulation) or edge and face elements (Nedelec- Raviart-Thomas formulation). To verify the stability, a novel \nonlinear" electromagnetic energy is introduced, which is stronger than the the com- monly used (linear) electromagnetic energy. It turns out that the propo- sed time discretization scheme is unconditionally stable with respect to this energy. The presented computational experiments demonstrate that the pro- posed approaches prove to be robust and allow the modeling of 3D optical problems that can be directly derived from the full system of Maxwell's non- linear equations, and also allow the treatment of complex nonlinearities and geometries of various physical systems. In the last section of thesis, the time domain discretization for the nonli- near problem is extended to a discontinuous Galerkin nite element method in 2D. The energy of nonlinear Maxwell's equations at the continuous and discrete levels is described, and an error estimate at the semi-discrete level is demonstrated for the discontinuous Galerkin method.

In dieser Arbeit entwickeln wir eine Finite-Elemente-Methode im Zeitbereich für lineare und nichtlineare Modelle in Elektromagnetismus und Optik. Im linearen Fall wird eine schwache Formulierung für das elektrische und das magnetische Feld mit geeigneten Anfangs- und Randbedingungen abgeleitet und das Problem wird sowohl räumlich als auch zeitlich diskretisiert. Nédeléc Curl-konforme und Raviart-Thomas Div-konforme finite Elemente werden verwendet, um die elektrischen bzw. magnetischen Felder räumlich zu diskretisieren. Das implizite Euler-Vefahren sowie ein symplektisches Verfahren werden angewendet, um das lineare Problem in der Zeit zu diskretisieren. Für dieses lineare System geben wir eine vollständige Stabilitäts- und Fehleranalyse an. Zusätzlich werden Computerexperimente vorgestellt, um die Methode zu validieren. Die elektrischen und magnetischen Felder werden visualisiert. Das Verfahren ermöglicht es auch, komplexe Geometrien verschiedener physikalischer Systeme, die mit elektromagnetische Feldern gekoppelt sind, in 3D zu behandeln. In einem weiteren Teil der Arbeit erweitern wir die lineare Finite-Elemente-Methode auf Finite- Elemente-Methoden im Zeitbereich für das gesamte System der Maxwell-Gleichungen mit kubischen Nichtlinearitäten in 3D. Erstmalig werden Stabilitäts- und Fehlerschätzungen für diese Art von Problem vorgestellt. Die neuen Möglichkeiten dieser Methoden bestehen darin, lineare und nichtlineare Effekte der elektrischen Polarisation effizient zu modellieren. Es wurde eine neuartige Strategie für die Beherrschung des diskreten Nichtlinearitätsmodells in Raum und Zeit entwickelt. Sie führt zu energiestabilen Diskretisierungen sowohl auf der semidiskreten als auch auf der volldiskreten Ebene, wobei die räumliche Diskretisierung entweder unter Verwendung von diskontinuierlichen Räumen und Randelementen (Lee-Madsen-Formulierung) oder Rand- und Flächenelementen (Nédeléc-Raviart-Thomas-Formulierung) erfolgen kann. Zum Nachweis der Stabilität wird eine neuartige "nichtlineare" elektromagnetische Energie eingeführt, die stärker als die üblicherweise verwendete (lineare) elektromagnetische Energie ist. Es zeigt sich, dass das vorgeschlagene Zeitdiskretisierungsschema in Bezug auf diese Energie unbedingt stabil ist. Die präsentierten Computerexperimente zeigen, dass sich die vorgeschlagenen Ansätze als robust erweisen und die Modellierung von optischen 3D-Problemen, die direkt aus dem System der nichtlinearen Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden können, sowie die Behandlung komplexer Nichtlinearitäten und Geometrien verschiedener physikalischer Systeme ermöglichen. Im letzten Teil der Arbeit wird die Zeit-Diskretisierung für das nichtlineare Problem auf eine diskontinuierliche Galerkin-Finite-Elemente-Methode in 2D erweitert. Die zu den nichtlinearen Maxwell-Gleichungen gehörige Energie wird auf der kontinuierlichen und diskreten Ebene beschrieben, und es wird eine Fehlerschätzung auf semidiskreter Ebene für die diskontinuierliche Galerkin-Methode bewiesen.

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Anees, Asad: Time domain finite element method for linear and nonlinear models in electromagnetics and optics. Clausthal 2020.

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