Transiente Lösung von M/M(2,2)/1
In dieser Arbeit wird zunächst ein zum Ansatz von Bailey alternativer Lösungsweg fur M/M/1-Bediensysteme präsentiert. Die Notation M/M/1 bezeichnet ein Bediensystem mit exponentiell verteilten Zwischenankunftszeiten, exponentiell verteilten Bedienzeiten und einem Bediener. Während der klassische Ansatz unmittelbar auf dem Kolmogorovschen Differentialgleichungssystem fur den Warteschlangenprozess (Q(t))t∈R + 0 aufbaut und erzeugende Funktionen und ihre Laplace-Transformierten benutzt, behandelt ein von O.P. Sharma entwickelter Ansatz alternativ den zweidimensionalen Prozess (X(t), Y (t))t∈R + 0 , wobei X(t) die Anzahl der bis zum Zeitpunkt t angekommenen und Y (t) die Anzahl der bis zum Zeitpunkt t abgängigen Kunden bezeichnet. Die Betrachtung von (X(t), Y (t))t∈R + 0 anstelle von (Q(t))t∈R + 0 , wobei Q(t) = X(t) − Y (t), t ≥ 0, fuhrt zu einer Verfeinerung des Zustandsraums, die anstelle einiger ” großer“ zwar viele ” kleine“ Rechenschritte nach sich zieht, die aber offensichtlich leichter und effizienter bewältigt werden können als im Original-Ansatz. Das Ziel dieser Arbeit ist es, fur das Warteschlagensystem M/M/(2,2)/1 ebenfalls eine geschlossene Lösung zu finden. Die Notation M/M(2,2)/1 steht fur ein M/M/1-Bediensystem, dessen Bediener in der Lage ist, jeweils zwei Kunden gleichzeitig zu bedienen. Der Ansatz mittels erzeugender Funktion und Laplace-Transformation scheitert in diesem Fall an der Rucktransformation. Deswegen wird in dieser Arbeit der Ansatz von Sharma praktiziert. Auf diesem Weg gelingt es, die absoluten Zustandswahrscheinlichkeiten des Systems mit Hilfe von konfluenten hypergeometrischen Funktionen darzustellen. Weitere mathematische Vereinfachungen wie im Fall M/M/1 (Darstellung der absoluten Zustandswahrscheinlichkeiten als modifizierte Differenz von zwei Poisson-Verteilungen) konnten im vorliegenden Fall nicht erzielt werden. Trotzdem wird deutlich, dass der Ansatz offensichtlich verallgemeinerungsfähig ist. Die Tabellen fur einige ausgewählte zeitabhängige Kenngrößen zeigen, dass sich die gefundene Lösung auch fur eine numerische Realisierung eignet. Als Vergleichsmethode wurde ein lineares Mehrschrittverfahen in Mathematica verwendet. Außerdem wird das Konvergenzverhalten der Lösung in Abhängigkeit vom Abschneideindex der konfluenten hypergeometrischen Reihe untersucht. Fur die numerischen Beispiele werden unterschie- diche Auslastungen des Systems betrachtet.
Two approaches for the solution of M/M/1 queueing problem will be presented here. The newer one developed by O.P.Sharma (1990) is an alternative to the classical solution developed by Bailey (1954). The notation M/M/1 indicates a queuieng system with exponentially distributed interarrival times, exponentially distributed service times and one server. Other than the classical approach which is based directly on the Kolmogorov differential equation system for queueing process (Q(t))t∈R + 0 using generating function and Laplace transforms, the approach presented by O.P. Shamrma uses the two dimentional process (X(t), Y (t))t∈R + 0 . Here X(t) denotes the number of customers arrived until time t and Y (t) denotes the number of customers that have been served until time t. The use of (X(t), Y (t))t∈R + 0 instead of (Q(t))t∈R + 0 , where Q(t) = X(t) − Y (t), t ≥ 0, leads to a refinement of state space. Thus equation system is solved in many “small“ steps instead of solving in few “big“ steps. Obviously this can be solved easier and more efficient than in the original approach. Goal of this thesis is the development of a solution for M/M/(2,2)/1 queueing system. Here M/M/(2,2)/1 denotes a M/M/1 system with the capability to serve two customers at the same time. The classical approach using generating function and Lapalce transformation fails when trying to transform the solution back. Thus the idea of Sharma will be used. It will be managed to evaluate the absolute state probabilities using confluenten hypergeometrical functions. Further simplifications as in the case of M/M/1 could not be achieved. But it becomes clear that the approach could be generalized further more. Tables for dedicated time depending measures show that the solution can also be used for numerical computations. For comparison purposes a linear multistep method in Mathematica is used. Also convergence is analyzed when setting the upper boundary of the confluent hypergeometric series to a finite number. For numeric examples several work load situations of the system are analyzed.
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